МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кафедра геометрії і топології

Факультет механіко-математичний

“ЗАТВЕРДЖУЮ”

Декан_________________

“_____”___________2005р.

^{РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА}

Предмет Диференціальна геометрія і топологія

Спеціальність математика

Факультет механіко-математичний

Форма навчання денна

Витягз навчального плану

Семестр	К-ть ауд.год	В т.ч.			К-ть год. СР	КР	КП	Заліки	Іспити
		Л	П,С	Л

Розглянуто Рекомендовано

на засіданні кафедри Вченою радою факультету

“___” 2005р. “___”

Завідувач Голова Вченої ради факультету

кафедри геометрії і топології

____________ проф.Зарічний М.М. _____________

Анотація

Курс „Диференціальна геометрія і топологія” є одним з фундаментальних курсів, які лежать в основі математичної освіти. В цьому курсі для студентів механіко-математичного факультету передбачаїться подати основи класичної диференціальної геометрії, загальної топології, ріманової геометрії та тензорного аналізу. Студенти також ознайомляться з поняттям гладкого многовиду. Набуті знання надалі використовуватимуться при виконанні курсових та дипломних робіт, в подальшій науково-педагогічній діяльності.

Зміст програми

Основні поняття загальної топології: топологічний простір, неперервне відображення , геоморфізм, зв’язність компактність. Дослідження властивостей відносно теоретикомножинних операцій. Компактні зв’язні многовиди. Теорема про топологічну класифікацію компактних зв’язних поверхонь. Теорія гладких кривих. Формули Серре-Френе. Основи теорії поверхонь. Ізометрія поверхонь. Гаусова кривина як інваріант ізометрії. Ріманова геометрія, коваріантне диференціювання, простори афінної зв’язності. Тензор кривин.

„Диференціальна геометрія і топологія”

доц. І.Й. Гуран

1. Елементи заагльної топології.

· Предмет топології. Топологія метричних просторів. Поняття топологічного простору. Операції над множинами топологічного простору: замикання, внутрішність, межа. Бази і передбази. Неперервні відображення, томеоморфізми. Зв’язність, локальна зв’язність, лінійна зв’язність. Аксіоми відокремлення. Велика лема Урисона.

· Теоретико-множинні операції над топологічними просторами: топологія підпростору, добутки, фактор-топологія. Моделі компактних зв’язних поверхонь.

· Компактність, теореми про компактні простори. Компактифікації. Теорема Тіхонова про добуток компактних просторів. Топологічні многовиди, поняття розмірності топологічних просторів. Локально-скінченні покриття та розбиття одиниці.

2. Елементи теорії кривих і теорії поверхонь в евклідових просторах.

· Поняття параметрично заданої кривої. Вектор швидкості. Довжина дуги кривої, натуральний параметр. Формули Френе для плоскої кривої. Просторові криві, кривина та скрут. Дотична, нормаль і бінормаль. Формули Френе для просторової кривої. Основна теорема теорії кривих. Геометричний зміст кривини та скруту.

· Поняття параметрично заданої поверхні. Дотична площина та нормаль до поверхні. Перша квадратична форма, елементи внутрішньої геометрії поверхонь.

· Криві на поверхні, нормальна кривина, нормальні перерізи. Друга квадратична форма. Головні кривини. Кривина похилих перерізів, теорема Меньє. Індикатриса Дюпена. Асимптотичні лінії та лінії кривини. Формула Ейлера. Дериваційні формули Вейнгартена. Теорема Гауса. Гаусова та середня кривини. Мінімальні поверхні.

3. Елементи ріманової геометрії і тензорного аналізу.Гладкі многовиди.

· Атласи і карти, координатні гомеоморфізми. Приклади гладких многовидів. Многовиди з краєм. Гладкі функції і гладкі відображення многовидів.

· Тензори та тензорні поля в області евклідового простору і на гладких многовидах. Дотичне та кодотичне розшарування. Алгебраїчні операції над тензорами. Векторні поля. Диференціальні операції над тензорами. Коваріантне диференціювання тензорних полів. Метричний тензор, ріманові простори, поняття афінної зв’язності. Зв’язність, узгоджена з метрикою. Коваріантна похідна вздовж кривої на многовиді.

· Паралельне перенесення вектора вздовж кривої на многовиді. Геодезійні. Геодезійні на поверхнях. Тензор кривини.

4. Елементи гомотопічної топології.

· Гомотопія відображень, гомотопійні класи, гомотопійна еквівалентність. Гомотопія петель. Фундаментальна група. Фундаментальна група кола. Теорема Брауера про нерухому точку. Лема про барабан. Теорема Борсука-Улама. Класифікаційна теорема для компактних зв’язних поверхонь.

Література:

1. Александров П.С. Введение е теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1975.

2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ,1980.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

4. Гуран І.Й., Зарічний М.М. Диференціальна геометрія і топологія. – К.:НВК МО, 1991

5. Б.М. Бокало, І.Й. Гуран , М.М. Зарічний. Збірник задач з курсу диференціальної геометрії і топології.