МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кафедра геометрії і топології

Факультет механіко-математичний

“ЗАТВЕРДЖУЮ”

Декан_________________

“_____”___________2005р.

^{РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА}

Предмет Диференціальна геометрія і топологія

Спеціальність статистика

Факультет механіко-математичний

Форма навчання денна

Виписка з навчального плану

Семестр	К-ть ауд.год	В т.ч.			К-ть год. СР	КР	КП	Заліки	Іспити
		Л	П,С	Л

Розглянуто Рекомендовано

на засіданні кафедри

Завідувач

кафедри геометрії і топології проф.Зарічний М.М.

АНОТАЦІЯ

Курс „Диференціальна геометрія і топологія” є одним з фундаментальних курсів, які лежать в основі математичної освіти. В цьому курсі для студентів механіко-математичного факультету спеціальності “статистика” викладаються основи класичної диференціальної геометрії (теорія кривих та теорія поверхонь), основи загальної топології та теорії многовидів.

Зміст

Поняття кривої. Криві Пеано та Коха. Дотична пряма. Скрут кривої. Формули Френе. Натуральні рівняння кривої. Основна теорема теорії кривих. Поняття поверхні. Дотична площина. Класифікація точок поверхні.

Головні напрямки і головні кривини. Формули Ейлера. Метричні простори. Відкриті і замкнені множини. Топологія. Операції над множинами в топологічних просторах. Операції над топологічними просторами. Приклади. Компактність. Властивості. Зв’язність.

Програма курсу

„Диференціальна геометрія і топологія”

проф. Т.О.Банах

Теорія кривих:

1. Вектор-функції скалярного аргумента та їх властивості.

2. Поняття кривої. Криві Пеано та Коха.

3. Способи задання кривих.

4. Дотична пряма. Вектор швидкості.

5. Довжина дуги кривої. Натуральний параметр.

6. Вектор кривини. Кривина кривої. Геометричний зміст кривини.

7. Обчислення кривини.

8. Скрут кривої. Геометричний зміст скруту.

9. Обчислення скруту.

10. Тригранник Френе.

11. Формули Френе.

12. Натуральні рівняння кривої. Основна теорема теорії кривих.

Теорія поверхонь:

1. Поняття поверхні. Дотична площина.

2. Перша квадратична форма поверхні.

3. Внутрішня геометрія поверхні.

4. Друга квадратична форма поверхні.

5. Кривина нормального перерізу.

6. Кривина похилого перерізу.

7. Класифікація точок поверхні.

8. Головні напрямки і головні кривини. Формули Ейлера.

9. Теорема Егрегіум Гауса.

10. Дериваційні формули.

11. Формули Гауса-Петерсона-Кодацці.

12. Теорема Боне про існування і єдиність поверхні з даними першою та другою квадратичними формами.

13. Геодезійні. Екстремальна властивість геодезійних.

14. Напівгеодезійна параметризація поверхнонь. Поверхні постійної кривини.

15. Проективна площина та площина Лобачевського.

16. Поняття гладкого многовиду.

Загальна топологія:

1. Метричні простори. Кулі і сфери.

2. Повні метричні простори. Теорема Бера, простори Бера.

2. Відкриті і замкнені множини. Топологія.

3. База і передбаза топологічного простору.

4. Операції над множинами в топологічних просторах: внутрішність, замикання межа.

5. Неперервні відображення. Гомеоморфізми.

6. Операції над топологічними просторами. Приклади.

7. Аксіоми віддільності.

8. Лема Урисона.

9. Теорема Тітце-Урисона.

10. Розпізнавання нормальних та ненормальних просторів.

11. Універсальність гільбертового куба та метризаційна теорема Тихонова-Урисона.

12. Умови зліченності та кардинальні інваріанти топологічних та метричних просторів.

13. Компактність. Приклади. Властивості.

14. Зліченна компактність, секвенціальна компактність, псевдокомпактність.

15. Характеризація компактних метричих просторів.

16. Зв’язність. Лінійна зв’язність.

Література:

1. І.Й. Гуран, М.М. Зарічний. Диференціальна геометрія і топологія. Київ, НМК ВО, 1990.

2. А.Д.Александров, Н.В.Нецветаев. Геометрия. Наука, Москва,

3. А.В. Погорелов. Диференціальна геометрія, Наука, Москв, 1969, 176 с.

4. Сборник задач по дифференциальной геометрии (под ред. А.С. Феденко), Москва, Наука, 1979.

5. Р. Энгелькинг, Общая топология, Мосва: Мир, 1986.

6. Б.М.Бокало, І.Й. Гуран, М.М. Зарічний, Збірник задач з курсу диференціальної геометрії і топології (Загальна топологія), Київ, 1994.