МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кафедра геометрії і топології

Факультет механіко-математичний

“ЗАТВЕРДЖУЮ”

Декан_________________

“_____”___________2005р.

^{РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА}

Предмет Аналітична геометрія

Спеціальність статистика

Факультет механіко-математичний

Форма навчання денна

Витяг з навчального плану

Семестр	К-ть ауд.год	В т.ч.			К-ть год. СР	КР	КП	Заліки	Іспити
		Л	П,С	Л

Розглянуто Рекомендовано

на засіданні кафедри Вченою радою факультету

“___” “___”

Завідувач Голова Вченої ради факультету

кафедри геометрії і топології

____________ проф.Зарічний М.М. _____________

Анотація

Курс „Аналітична геометрія” є одним з фундаментальних курсів, що лежать в основі математичної освіти. У цьому курсі для студентів механіко-математичного факультету зі спеціальності статистика передбачається подати основи класичної геометрії. Набуті знання надалі використовуватимуться в курсах математичного аналізу, диференціальної геометрії і топології, а також в подальшій науково-виробничій діяльності.

Зміст програми

Основні поняття загальної топології: точка, пряма, площина, вектор, лінійний простір, система координат, крива, поверхня. Векторна алгебра. Системи координат. Пряма на площини та в просторі, площина. Канонічні рівняння кривих II-го порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Загальна теорія кривих ІІ-го порядку. Поверхні ІІ-го порядку.

„Аналітична геометрія”

доц. О. В. Гутік

1. Векторна алгебра.

1.1. Поняття вектора, лінійні операції над векторами. Означення лінійного простору. Приклади.

1.2. Лінійні комбінації, лінійна залежність векторів. Геометричний зміст. Колінеарність та компланарність векторів.

1.3. Базис лінійного простору. Базис на площині та у просторі. Розклад вектора по базі. Координати вектора. Властивості координат. Ортонормовані бази, афінні бази.

1.4. Скалярний добуток векторів. Властивості, координатний запис. Проекція вектора на вісь та площину.

1.5. Перетворення координат. Матриця переходу. Ортогональні матриці та ортогональні перетворення.

1.6. Орієнтація базисів, орієнтація простору.

1.7. Орієнтований об’єм трьох векторів. Властивості, запис в координатах.

1.8. Векторний та мішаний добуток векторів. Властивості. Зв’язок з колінеарністю та компланарністю.

1.9. Кватерніони, зв’язок множення кватерніонів із скалярним та векторним добутками.

2. Системи координат.

2.1. Афінні систем координат. Полярна, циліндрична та сферична системи координат. Формули переходу.

2.2. 4-вимірний простір-час Мінковського та елементи спеціальної теорії відносності.

Прямі та площини.

3.1. Пряма на площині. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих. Пучки прямих.

3.2. Пряма в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, відстань від точки до прямої, півплощини, кут між прямими.

3.3. Площина у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення площин. Пучок площин.

3.4. Площина в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, відстань від точки до площини, півпростори, кут між площинами.

3.5. Пряма у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих у просторі. Відстань від точки до прямої у просторі, відстань між двома мимобіжними прямими. Знаходження спільного перпендикуляра двох мимобіжних прямих.

4. Канонічні рівняння кривих II-го порядку.

4.1. Еліпс, гіпербола, парабола.

4.2. Директоріальна властивість еліпса і гіперболи.

4.3. Полярний параметр. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній системі координат.

5. Загальна теорія кривих ІІ-го порядку.

5.1. Загальне рівняння кривої другого порядку. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Перетворення рівняння кривої при перетворенні координат.

5.2. Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного виду.

5.3. Визначення канонічного рівняння лінії другого порядку за інваріантами.

5.4. Центри кривої.

5.5. Перетин ліній другого порядку з прямою. Асимптотичні напрямки. Асимптоти.

5.6. Теореми єдиності для ліній другого порядку.

5.7. Спряжені напрямки і спряжені діаметри ліній другого порядку.

5.8. Головні діаметри і осі симетрії ліній другого порядку.

6. Поверхні ІІ-го порядку.

6.1. Спеціальні класи поверхонь: поверхні обертання, циліндричні та конічні поверхні. Їх задання в різних системах координат.

6.2. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку: еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди, циліндри. Перетин поверхні другого порядку з площиною.

6.3. Лінійчаті поверхні.

6.4. Теорема про зведення загального рівняння поверхні ІІ-го порядку до канонічного виду.

6.5. Зведення рівняння поверхні ІІ-го порядку до канонічного виду за допомогою інваріантів.

Література:

1. П. С. Александров, Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука. !968.

2. А. В. Погорелов, Аналитическая геометрия. М.: Наука. !968.

3. М. М. Постников, Аналитическая геометрия. М.: Наука. !973.

4. М. М. Постников, Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. М.: Наука. !979.

5. В. В. Федорчук, Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: МГУ. !990.

6. Т. Банах, Б. Бокало, Ю. Іщук, Х. Трущак, Збірник задач з аналітичної геометрії, Львів: ЛНУ. 2003.